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设 $f\in C^1(\bbR)$, 则 $$\bex f\mbox{ 是 }k\mbox{ 次齐次函数}\lra xf'(x)=kf(x). \eex$$
证明: $\ra$: 对 $f(\lm x)=\lm^kf(x)$ 两边关于 $\lm$ 求导, 有 $$\bex x f'(\lm x)=k\lm^{k-1}f(x). \eex$$ 令 $\lm=1$ 即有 $$\bex xf'(x)=kf(x). \eex$$ $\la$: 对任意固定的 $x$, 记 $$\bex F(\lm)=f(\lm x)-\lm^kf(x), \eex$$ 则 $$\beex \bea \lm F'(\lm)&=\lm \sez{xf'(\lm x)-k\lm^{k-1}f(x)}\\ &=kf(\lm x)-k\lm^k f(x)\\ &=kF(\lm). \eea \eeex$$ 求解上述 ode, 有 $$\bex F(\lm)=F(1)\lm^k =0. \eex$$
注记: 设 $f\in C^1(\bbR^n)$, 则 $$\bex f\mbox{ 是 }k\mbox{ 次齐次函数}\lra \sum_{i=1}^n x_i\frac{\p f}{\p x_i}(x)=kf(x). \eex$$
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